20 Econometría no paramétrica
Temas a revisar:
- Motivación para ir más allá de especificaciones lineales y paramétricas
- Estimación de funciones de regresión mediante promedios locales y kernels
- Regresión kernel y regresión lineal local
- El rol del bandwidth y el trade-off entre sesgo y varianza
- Ventajas, limitaciones e interpretación en aplicaciones empíricas
20.1 Apuntes
Los apuntes detallados y las diapositivas sobre econometría bayesiana se encuentran en preparación.
20.2 Idea central
En muchos problemas empíricos, imponer una forma funcional específica —por ejemplo, una relación lineal o polinómica de bajo grado— puede ser demasiado restrictivo. La econometría no paramétrica busca estimar relaciones entre variables sin fijar ex ante una forma funcional rígida para toda la muestra.
Si el objetivo es estimar la función de regresión condicional
\[ m(x) = E[Y \mid X=x], \]
el enfoque no paramétrico consiste en aproximar \(m(x)\) utilizando observaciones cercanas a \(x\), de modo que la forma de la relación surja de los datos y no de una restricción paramétrica impuesta por el investigador.
20.3 Intuición de los estimadores locales
La idea básica es simple: para aprender sobre el comportamiento de \(Y\) en torno a un valor particular \(x\), tiene más sentido usar con mayor peso a las observaciones cercanas a \(x\) que a aquellas muy lejanas.
Esto lleva naturalmente al uso de funciones de ponderación o kernels. Un estimador clásico de Nadaraya-Watson es:
\[ \hat m(x) = \frac{\sum_{i=1}^n K\!\left(\frac{X_i-x}{h}\right) Y_i} {\sum_{i=1}^n K\!\left(\frac{X_i-x}{h}\right)}, \]
donde \(K(\cdot)\) es un kernel y \(h\) es el bandwidth o parámetro de suavizamiento.
- Si \(h\) es muy grande, el estimador suaviza demasiado y puede perder estructura importante.
- Si \(h\) es muy pequeño, el estimador sigue muy de cerca el ruido muestral y puede volverse inestable.
Este balance entre sesgo y varianza es uno de los elementos centrales del análisis no paramétrico.
20.4 Regresión lineal local
Aunque los promedios kernel son intuitivos, en muchas aplicaciones se prefiere la regresión lineal local, que aproxima la función de regresión mediante una expansión lineal en una vecindad pequeña de \(x\):
\[ Y_i \approx a + b(X_i-x) \quad \text{para observaciones con } X_i \text{ cercanas a } x. \]
Este enfoque suele mejorar el comportamiento del estimador, especialmente en los extremos de la muestra, donde los problemas de frontera son importantes.
20.5 Ventajas y desafíos
Ventajas
- Permite descubrir relaciones no lineales sin imponer una estructura global fuerte
- Es útil para exploración de datos y para contrastar la plausibilidad de modelos paramétricos
- Resulta natural en contextos donde la teoría no entrega una forma funcional precisa
Desafíos
- Requiere muestras relativamente grandes para estimar funciones con precisión
- Su interpretación puede ser menos inmediata que la de un modelo lineal con pocos parámetros
- La selección de bandwidth es crucial
- En dimensión alta aparece la llamada maldición de la dimensionalidad, ya que la cantidad de datos necesaria crece rápidamente con el número de covariables
20.6 Comentario final
La econometría no paramétrica no reemplaza automáticamente a los modelos paramétricos. Más bien, ofrece una alternativa flexible y una herramienta complementaria para evaluar la robustez de una especificación, detectar no linealidades y estudiar estructuras funcionales complejas.
20.7 Referencias
Härdle, W. (1990). Applied Nonparametric Regression. Cambridge University Press.
Li, Q. and Racine, J. S. (2007). Nonparametric Econometrics: Theory and Practice. Princeton University Press.
Pagan, A. and Ullah, A. (1999). Nonparametric Econometrics. Cambridge University Press.