VAR#
Vectores Autorregresivos#
Introducción#
Sistema de regresiones MCO, incluye rezagos de las variables
Relación entre shocks
Ejemplo: Sea el sistema PIB (\(y\)) y Dinero (\(m\)):
\[\begin{split} \begin{eqnarray*} y_t&=&\phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + ... + \phi_p y_{t-p} + \theta_1 m_{t-1} + \theta_2 m_{t-2} + ... + \theta_q m_{t-q} + \varepsilon_t\\ m_t&=&\gamma_1 m_{t-1} + \gamma_2 m_{t-2} + ... + \gamma_r m_{t-r} + \gamma_1 y_{t-1} + \alpha_2 y_{t-2} + ... + \alpha_s y_{t-s} + \nu_t \end{eqnarray*} \end{split}\]
Notación Espacio-Estado#
La forma como cambia el sistema depende del estado actual.
Es una forma de reescribir una ecuación diferencial de alto orden en notación de una ecuación diferencial de primer orden.
Esto permite el uso de herramientas ya vistas para el proceso AR(1).
Ejemplo 1. Sea el proceso AR(2),
\[y_t=\phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \varepsilon_t\]Lo representaremos en notación compacta similar a un AR(1):
\[\begin{split}\begin{eqnarray*} \left[\begin{array}{c} y_t \\ y_{t-1} \end{array}\right] &=& \left[\begin{array}{cc} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} \varepsilon_{t} \\ 0 \end{array}\right]\\ &&\\ X_t&=&\Phi\cdot X_{t-1} + \xi_t \end{eqnarray*}\end{split}\]En donde, \(X_t=(y_t,y_{t-1})'\).
Nota: Para un caso más general, \(\Phi\) será una matrix \(p\times p\).
\(\,\)
Ejemplo 2. Sea el sistema de ecuaciones, ambas AR(2),
\[\begin{split}\begin{eqnarray*} y_t&=&\phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \theta_1 m_{t-1} + \theta_2 m_{t-2} + \varepsilon_t\\ m_t&=&\gamma_1 m_{t-1} + \gamma_2 m_{t-2} + \gamma_1 y_{t-1} + \alpha_2 y_{t-2} + \nu_t \end{eqnarray*}\end{split}\]Primero lo reescribimos en notación de un proceso autorregresivo de segundo orden,
\[\begin{split}\begin{eqnarray*} \left[\begin{array}{c} y_t \\ m_{t} \end{array}\right] &=& \left[\begin{array}{cc} \phi_1 & \theta_1 \\ \gamma_1 & \alpha_1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} y_{t-1} \\ m_{t-1} \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} \phi_2 & \theta_2 \\ \gamma_2 & \alpha_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} y_{t-2} \\ m_{t-2} \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} \varepsilon_{t} \\ \nu_t \end{array}\right]\\ &&\\ Y_t&=&\Phi_1\cdot Y_{t-1} + \Phi_2\cdot Y_{t-2} + u_t \end{eqnarray*}\end{split}\]donde, \(\Phi_1\) es una matriz \(n\times n=2\times 2\).
Finalmente, escribimos la ecuación de segundo orden como un proceso de primer orden:
\[\begin{split}\begin{eqnarray*} Y_t&=&\Phi_1\cdot Y_{t-1} + \Phi_2\cdot Y_{t-2} + u_t\\ &&\\ X_t&=&\Phi\cdot X_{t-1} + \xi_t \end{eqnarray*}\end{split}\]Donde, \(X_t\) es un vector \(np\times 1\) y \(\Phi\) es una matriz \(np\times np\) igual a $\(\begin{eqnarray*} \Phi = \left[\begin{array}{cc} \Phi_1 & \Phi_2 \\ I_2 & O \end{array}\right] \end{eqnarray*}\)$
Condición estacionareidad#
El foco de interés se ha convertido a \(X_t=\Phi X_{t-1} + \xi_t\).
Recordemos que en el proceso AR(1), uniecuacional, \(y_t=\phi y_{t-1}+e_t\), establecimos que una condición para dicho proceso ser invertible (y, por ende, al menos débilmente estacionario) era que \(|\phi|<1\). Para el proceso AR(p) se requería que las raíces del polinomio estuvieran fuera del círculo unitario.
Considerando que un proceso arma o un sistema de ecuaciones (VAR) lo podemos representar en notación espacio-estado usando la notación de un AR(1), podemos establecer, de forma general, la siguiente condición para invertibilidad («estacionariedad»): Los valores propios (o eigenvalues) de la matriz \(\Phi\) tienen que estar dentro del círculo unitario (en módulo).
Por ejemplo, en el ejemplo 2, la condición se puede establecer como la solución a \(|I_2\lambda^2-\Phi_1\lambda-\Phi_2|=0\).
Supuestos y presentación alternativa:#
Incorporamos los siguientes supuestos sobre \(\xi_t\):
\[ \mathbb{E}\{\xi_t\}=0 \hspace{1cm};\hspace{1cm} \mathbb{E}\{\xi_t\xi_t'\}=\Omega \hspace{1cm};\hspace{1cm} \mathbb{E}\{\xi_t\xi_{t-j}'\}=0 \hspace{1cm},\hspace{1cm} \forall\,j>0 \]Considerando que \(\Gamma\) puede ser diferente a \(I\), representaremos el proceso de forma alternativa como:
\[ X_t=\Phi X_{t-1} + C\cdot\eta_t\]donde, $\( \mathbb{E}\{\eta_t\}=0 \hspace{2cm};\hspace{2cm} \mathbb{E}\{\eta_t\eta_t'\}=I \hspace{2cm};\hspace{2cm} \mathbb{E}\{\eta_t\eta_{t-j}'\}=0 \hspace{1cm},\hspace{1cm} \forall\,j>0 \)$
Transformación MA:#
donde, \(D_0=C\); \(D_1=\Phi*C\); \(D_2=\Phi^2*C\); …
Nota: Observar que el efecto de un shock, \(\eta_t\), sería $\(\partial X_{t+s}/\partial \eta_t = \Phi^s\cdot C\)$
Sobre Estimación#
Verosimilitud
Equivalentemente, podría obtenerse \(\hat{\Phi}\) vía MCO, para generar \(\hat{\xi}_t\), y, por ende, \(\hat{\Omega}=(T-p)^{-1}\sum_{t=p+1}^T \hat{\xi}_t\hat{\xi}_t'\).
Para inferencia: Test LRT.
Funciones de Impulso Respuesta (IRF)#
Efecto de un shock (exógeno)
Ejemplo: ¿Cómo afecta un shock monetario al producto? (aislado de otros shocks)
Efecto del shock: $\(\frac{\partial X_{t+s}}{\partial \xi_t}=\Phi^s\)$
Para \(\Omega\neq I\):
un shock en una variable tendrá un impacto en las otras variables. \(\Omega\) no es diagonal.
se requiere una transformación (que permita poder generar una, llamada, «identificación» de la relación entre shocks)
Algunas posibilidades son:
Otogonalización. Por ejemplo, \(\Omega=B\Sigma B'\), en donde \(B\) es una matrix triangular y \(\Sigma\) es una matrix diagonal.
Estandarización usando descomposición Cholesky. Ejemplo, \(\Omega=CC'\), en donde \(C\) es una matrix triangular inferior.
Generalización de Pesaran y Shin. Notas:
El orden de las ecuaciones (ej. orden de las variables en el vector \(X\)) es muy importante al usar Cholesky.
Pesaran y Shin no es tan sensible al ordenamiento.
Algunos programas por defecto reportan IRF usando \(C\) como una matrix triangular inferior y otros no. Tener precaución en la interpretación de resultados.