Modelo de Conteo

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Poisson Regression: Modelo para variables de conteo.

Regresión de Poisson
- Modelo de regresión para datos de conteo, donde la variable dependiente representa el número de eventos en un tiempo o espacio específico.
- Los datos de conteo son no negativos y discretos (0, 1, 2,…).
Ejemplos:
- Número de cervezas que se venden en un bar entre las 23:00 y las 00:00 horas.
- Número de accidentes de tráfico en una intersección por día.
- Número de llamadas telefónicas recibidas por un centro de atención al cliente por minuto.

El modelo de probabilidad esta dado por:

Función de Probabilidad: $$P(Y = y) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^y}{y!}, \quad y = 0, 1, 2, ...$$

$Y$ es variable discreta que representa el número de eventos; $\lambda$ es la media.

Para hacerlo un modelo de regresión:

Relación entre Media y Variables Independientes: $$\lambda = E(Y|X) = e^{X'\beta}$$ donde $X = (X_1, X_2, …, X_k)”$ es un vector de variables explicativas.
Supuesto Clave: $Y$ sigue una distribución de Poisson con media $\lambda$, donde $\lambda$ es función de $X$.

Donde

Coeficientes ($\beta_j$):
- Representan el cambio en el logaritmo de la media de $Y$ por un cambio de una unidad en $X_j$, manteniendo constantes las demás variables.
- $\exp(\beta_j)$ representa el cambio multiplicativo en la media de $Y$ con un cambio unitario en $X_j$.
Ejemplo: Si $\exp(\beta_1) = 1,2$, un aumento de una unidad en $X_1$ se asocia con un aumento del 20% en la media de $Y$.

Considerando la función de probabilidad, la verosimilitud es:

\[L(\beta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda_i} \lambda_i^{y_i}}{y_i!}\]

donde $\lambda_i = e^{X_i'\beta}$.

y la Log-Verosimilitud es:

\[\ell(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i X_i'\beta - e^{X_i'\beta} - \ln(y_i!))\]

Los Errores Estándar se calculan a partir de la matriz de información de Fisher.
Y las Pruebas de Hipótesis se pueden realizar mediante pruebas t para la significancia individual de los coeficientes y pruebas de Wald para restricciones conjuntas.
Respecto a los Intervalos de Confianza, se pueden construir intervalos de confianza para los coeficientes de forma usual.

La sobredispersión ocurre cuando la varianza de $Y$ es mayor que su media, violando el supuesto de Poisson.

Causas:
- Heterogeneidad no observada.
- Omisión de variables relevantes.
- Eventos correlacionados.
Consecuencias:
- Sesgo en estimaciones de errores estándar.
- Pruebas de hipótesis incorrectas.
Soluciones:
- Regresión Binomial Negativa: Modelo alternativo para permitir sobredispersión.
- Estimación Robusta: Ajuste de errores estándar para sobredispersión.